Voyages au pays des maths

Au départ, il y a les cinq \ solides platoniciens \ bien-aimés des géomètres : le cube, le tétraèdre, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre. Mais pourquoi s'arrêter aux 3 dimensions de l'espace ordinaire ? Alicia Boole Stott a consacré sa vie à chercher des solides réguliers en dimension 4… et elle a trouvé ! Voyage dans des régions mathématiques insoupçonnées par notre esprit.

Quand les mathématiques nous renseignent sur la meilleure façon d'empiler ses oranges... Formulée en 1611, la conjecture de Kepler finira par être prouvée par Thomas Hales... en 1998 ! Grâce à des méthodes informatiques peu orthodoxes pour ses collègues. La certification des démonstrations mathématiques est un chemin ardu et fastidieux.

Le battement d'ailes d'un papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ? Derrière la trop célèbre question posée par Edward Lorenz , il y a une théorie mathématique de ce qu'on n'imaginait pas jusque là appartenir au pays des maths : les systèmes complexes comme ceux qui décrivent la météo ou encore… les affaires humaines !

Comment modéliser le mouvement d'une patate dans l'espace ? Plusieurs mathématiciens s'y sont cassés les dents. La mathématicienne Sofia Kovalevskaya a fini par obtenir à la fin du XIXe siècle un résultat important pour déterminer le mouvement d'un solide autour d'un point fixe, grâce à une toupie très spéciale. Petite expédition au coeur des systèmes intégrables, même si cela donne un peu le tournis...

Imaginez un monde où une machine pourrait calculer le vrai et le faux... Á défaut, Church, Herbrand, Gödel et Turing ont tenté chacun à leur manière de déterminer si un algorithme pouvait trancher qu'on peut démontrer ou pas une assertion mathématique. L'Entscheidungsproblem, le problème de la décision, qui a fait tanguer les maths et, au passage, posé les bases de l'informatique.

Expédition dans un magasin de carrelages pas tout à fait comme les autres pour paver votre salle de bain. Un pavage c'est une façon de couvrir un plan avec un motif répétitif. Cela devrait aller vite, il n'y a pas cinquante possibilités... Pas si simple : le choix est certes limité, mais il n'en reste pas moins large et la liste des possibles ne cesse de s'allonger !

Durant des siècles, la géométrie a reposé sur les axiomes d'Euclide qui paraissaient irrévocables. Mais à force de se casser les dents sur le cinquième, des mathématiciens ont émis au XIXe siècle l'idée révolutionnaire qu'il pouvait... être faux. C'est l'acte de naissance des géométries non-euclidiennes qui vont repousser comme jamais les frontières du pays des maths.

Toute la question est de savoir comment faire un réseau économique et robuste , mais qui ne prenne pas trop de place. Elle peut aussi bien concerner un réseau informatique que le cerveau humain. Ce qui nous amène dans la zone peu explorée de la frontière entre maths et la biologie.

Avec le problème de Monty Hall, on s'aventure à travers un jeu télévisé des années 60 sur le terrain des probabilités. En ayant à choisir entre trois portes, on découvrira comment une information acquise en cours de jeu peut modifier les statistiques de gain. Et qu'une question de probablités, résolue en théorie, peut faire l'objet de débats passionnés.

Dans la région des statistiques, on collecte et on traite des données pour tenter de maîtriser la complexité du monde réel et d'appréhender des phénomènes de masse. Un bastion de rationnalité qui comporte pourtant des replis étranges où se glissent de nombreux biais et paradoxes, comme celui de Simpson, pouvant fausser des conclusions qui semblaient objectives...